2.5.4.1 Řešení

Předpokládejme, že světelný paprsek bude postupovat cestou $ACB$ (viz obr.), kde $C$ je bod ležící na společném rozhraní obou prostředí. Když si tento bod zvolíme za začátek pravoúhlého souřadnicového systému s osou $x$ v rozhraní, bod $A$ bude mít souřadnici $(x, a)$ a bod $B$ bude mít souřadnici $(d - x, b)$, když jsme vzdálenost paty kolmice $A$ a $B$, tj. vzdálenost $A_{1}B_{1}$, označili $d$.

Když rychlosti světla v jednotlivých prostředích jsou $v_{1}$ a $v_{2}$, čas potřebný na proběhnutí dráhy $AC$ je daný vztahem

$$t_{1} = \frac {\sqrt{x^2 + a^2 }} {v_{1}}$$

a čas potřebný na proběhnutí dráhy $CB$ vztahem

$$t_{2} = \frac {\sqrt{(d - x^2) + b^2 }} {v_{2}}.$$

Celkový čas

$$t= t_{1} + t_{2} = \frac {\sqrt{x^2 + a^2 }} {v_{1}} + \frac {\sqrt{(d - x^2) + b^2 }} {v_{2}}$$

má být minimální, co bude splněné, když

$$\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t} = 0.$$

Po příslušné derivaci máme:

$$\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t} = \frac {x} {v_{1} \sqr... ...2 + a^2}} - \frac {d-x} {v_{2} \sqrt{(d - x^2) + b^2 } } = 0.$$ (2.61)

Dále platí:

$$\frac {x} { \sqrt {x^2 + a^2}} = \sin \alpha \qquad \mathrm {a} \qquad \frac {d-x} { \sqrt{(d - x^2) + b^2 } } = \sin \beta,$$ (2.62)

kde $\alpha$, popř. $\beta$ představují úhly, pod kterými světelný paprsek dopadá na rozhraní, popř. se na něm láme. Po dosazení vztahu (9) do rovnice (8) dostáváme:

$$\frac {\sin \alpha} {v_{1}} - \frac {\sin \beta} {v_{2}} = 0.\\$$

odkud

$$\frac {\sin \alpha} {\sin \beta} = \frac {v_{1}} {v_{2}} ... ...qquad \frac {v_{1}} {v_{2}} = n_{12} = \frac {n_{2}} {n_{1}},$$

čili

$$\frac {\sin \alpha} {\sin \beta} = \frac {n_{2}} {n_{1}}.$$

To je známý zákon lomu. Světlo při přechodu z jednoho prostředí do druhého vykoná v nejkratším čase dráhu splňující podmínky zákona lomu, což je ve shodě s Fermatovým principem o šíření optického paprsku mezi dvěma body $A$ a $B$.

Zpět: 2.5.4 Průchod světelného paprsku O úroveň výše: 2.5.4 Průchod světelného paprsku Pokračovat: 2.5.5 Zobrazování tenkou spojnou