2.5.1.1 Řešení

Vyberme ze svazku paprsků, které vycházejí z předmětu $P$ a po lomu na rozhraní vody a vzduchu vstupují do oka, dva paprsky (1) a (2), které svírají nepatrný úhel $\mathrm {d} \beta$. Lomené paprsky (1') a (2'), dopadající do oka ze zdánlivého obrazu $P'$, svírají úhel $\mathrm {d} \alpha$.

Podle označení platí:

$$\overline {BP'} = \frac{h'}{\cos \alpha}$$ (2.54)

$$\overline {BP} = \frac{h}{\cos \beta}.$$ (2.55)

V trojúhelníku $BDP'$ podle sinové věty platí:

$$\frac {\overline {BD}} {\overline {BP'}} = \frac{\sin \mathrm {d} \alpha}{\sin \gamma}$$ (2.56)

a protože $\sin \mathrm {d}\alpha \doteq \mathrm {d}\alpha$, $\gamma = R - (\alpha + \mathrm {d} \alpha)$ a $\sin \gamma = \sin [R -(\alpha + \mathrm {d} \alpha)] = \cos(\alpha + \mathrm {d} \alpha) \doteq \cos \alpha$, je možno rovnici (3) přepsat do tvaru

$$\frac {\overline {BD}} {\overline {BP'}} \doteq \frac{ \mathrm {d} \alpha}{\cos \alpha}.$$ (2.57)

Analogickým postupem z trojúhelníku $BPD$ vyplývá:

$$\frac {\overline {BD}} {\overline {BP}} \doteq \frac{ \mathrm {d} \beta}{\cos \beta}.$$ (2.58)

Když vydělíme rovnice (4) a (5) a výsledek porovnáme s výrazem $\frac {\overline {BP}} {\overline {BP'}}$, vyplývajícím z rovnic (1) a (2), dostaneme vztah

$$\frac {h'\mathrm {d} \alpha} {\cos^2{\alpha}} = \frac {h\mathrm {d} \beta} {\cos^2{\beta}}.$$ (2.59)

Podíl $\frac {\mathrm {d} \alpha} {\mathrm {d} \beta}$ určíme ze zákona lomu. Derivováním rovnice $\sin \alpha = n \sin \beta$ podle úhlu $\alpha$ dostáváme:

$$\cos \alpha = n \cos \beta \frac {\mathrm {d} \alpha} {\mathrm {d} \beta}$$

odkud

$$\frac {\mathrm {d} \alpha} {\mathrm {d} \beta} = n \frac {\cos \beta} { \cos \alpha}.$$

Po dosazení tohoto výrazu do rovnice (6) dostáváme pro zdánlivou hloubku vztah

$$h' = \frac {h}{n} \frac {\cos^3{\alpha}} {\cos^3{\beta}}.$$ (2.60)

Neznámý úhel $\beta$ určíme ze zákona lomu

$$\sin \beta = \frac {\sin \alpha} {n}$$

odkud po úpravě dostaneme:

$$\cos \beta = \frac {\sqrt{n^2 - \sin^2 {\alpha}}} {n}.$$

Pro zdánlivou hloubku $h'$ ze vztahu (7) potom vyplývá:

$$h' = hn^2\left( \frac {\cos\alpha} {\sqrt{n^2 - \sin^2 {\alpha}}} \right)^3.$$

Po dosazení číselných hodnot dostáváme:

$$h' = 2,81 \mathrm {m} 1,33^2\left(\frac {\cos 60^ {\mathrm {... ...^2 - \sin^2 {60 ^{\mathrm {o}}}}} \right)^3 = 0,6 \mathrm {m}.$$

V následujícím apletu Bazén lze volit úhel pozorovaní předmětu.

Zpět: 2.5.1 Předmět v bazénu O úroveň výše: 2.5.1 Předmět v bazénu Pokračovat: 2.5.2 Rotující rovinné zrcadlo