2.4.4.1 Řešení

a)

Předmět $AB = y$, jenž je ve vzdálenosti $a_1=x$ od počátku (viz. obr. 5), zobrazíme nejprve vypuklým zrcadlem a obraz $A_1B_2=y_2$, jím vytvořený, zobrazíme znovu zrcadlem dutým, takže vznikne obraz $A_2B_2=y_2$, který se podle zadání musí nacházet v téže vzdálenosti od zrcadel jako předmět.

Obr. 5

Z vrcholové rovnice vypuklého zrcadla plyne (pro zdánlivý obraz $A_1B_1$)

$$\frac{1}{a'_1}=\frac{1}{f_1}-\frac{ 1}{a_1} =-\frac2r-\frac1x,~~ \mbox{takže}~~a'_1=-\frac{rx}{2x+r}.$$

Zdánlivý obraz $A_1B_1$ je pro duté zrcadlo předmětem, jehož vzdálenost od vrcholu dutého zrcadla je

$$a_2=l+\mid a'_1\mid =3r+\frac{rx}{2x+r}.$$

Vrcholová rovnice dutého zrcadla dá pro vzdálenost $a'_2$ dalšího obrazu $A_2B_2=y_2$ vztah

$$\frac{1}{a'_2}=\frac{1}{f'_2}-\frac{1}{a_2}=+\frac{2}{r}- \frac{2x+r}{r(7x+3r)},$$

z něhož

$$a'_2=\frac{r(7x+3r)}{12x+5r}.$$ (2.42)

Má-li být splněna podmínka zadání, že $A_2\equiv A$, musí být

$$a'_2=3r-x.$$ (2.43)

Z rovnosti vztahů (18) a (19) dostaneme po úpravě kvadratickou rovnici $x^2-2rx-r^2=0$, jejíž kořeny jsou $x_{1,2}=r(1\pm \sqrt{2})$. Záporný kořen nemá fyzikální význam, neboť předmět by se octl v místě nepřípustném zobrazení. Předmět tedy musí být od vypuklého zrcadla vzdálen o délku $x=r(1+\sqrt2)\simeq 1,618\,r$.

b)

Obraz $A_2B_2$ je skutečný, převrácený a zmenšený. Platí totiž: Pro zvětšení vypuklým zrcadlem

$$\frac{y_1}{y}=-\frac{a'_1}{a_2}=+\frac{r}{2x+r}=3-\sqrt8.$$

Velikost prvého obrazu je tedy

$$y_1=(3-\sqrt8)y.$$

Pro zvětšení obrazu dutým zrcadlem dostáváme:

$$\frac{y_2}{y_1}=-\frac{a'_2}{a_2}=-\frac{2x+r}{12x+5r}= -(3-\sqrt8).$$

Proto velikost druhého obrazu je

$$y_2=-(3-\sqrt8)^2y.$$

c)

Poměr velikosti druhého obrazu $y_2$ k velikosti předmětu je

$$y_2:y=-(3-\sqrt8)^2:1.$$

Zpět: 2.4.4 Zobrazení vypuklým a O úroveň výše: 2.4.4 Zobrazení vypuklým a Pokračovat: 2.4.5 Zobrazení brýlemi