2.4.3.1 Řešení

a)

V našem případě má, podle zadání, být

$$x+c=d.$$ (2.34)

Dále, jak je zřejmé z obrázku,

$$y+b=d.$$ (2.35)

Podle zobrazovacích rovnic obou zrcadel platí

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f_1},$$ (2.36)

$$\frac1b+\frac1c=\frac{1}{f_2}.$$ (2.37)

Soustava rovnic (10), (11), (12), (13) obsahuje 4 neznámé. Když vyloučíme $y$, $b$, $c$ dostaneme k určení neznámé $x$ kvadratickou rovnici

$$[d-(f_1+f_2)]x^2-d\,(d-2f_2)x+d\,f_1(d-2f_2)=0,$$ (2.38)

jejíž řešení jsou

$$x_{1,2}=\frac{d\,(d-2f_2)\pm \sqrt{d\, (d-2f_1) (d-2f_2) [d-2(f_1+f_2)]}}{2(d-f_1-f_2)}.$$ (2.39)

b)

Vyloučíme-li ze soustavy rovnic (10), (11), (12), (13) veličiny $x$, $b$, $c$, dostaneme k určení neznámé $y$ kvadratickou rovnici

$$(d-f_1-f_2)y^2-d\,(d-2f_2)y+d\,f_1(d-2f_2)=0,$$ (2.40)

jejíž řešení je:

$$y_{1,2}=\frac{d\,(d-2f_2)\pm \sqrt{d\, (d-2f_1) (d-2f_2) [d-2(f_1+f_2)]}}{2(d-f_1-f_2)}.$$ (2.41)

c)

Rovnice (14) a (16) jsou zcela analogické, stejně tak jejich řešení (15) a (17). Má-li být $x_1=y_2$ a $x_2=y_1$, musí být $x_1=x_2=y_1=y_2$, tj. diskriminant v rovnicích (14) a (16) musí být nulový. Je to v těchto případech:

1.

$d =0$; $x =y =0$ ...vrcholy obou zrcadel jsou totožné, předmět je v tomto jejich společném vrcholu;

2.

$d = 2 f_1$; $x = y = 2 f_1$ ...vzdálenost vrcholů zrcadel je rovna poloměru křivosti zrcadla $Z_1$, předmět je na povrchu zrcadla $Z_2$;

3.

$d = 2 f_2$; $x =y =0$ ...vzdálenost vrcholů zrcadel je rovna poloměru křivosti zrcadla $Z_2$; předmět je na povrchu zrcadla $Z_1$;

4.

$d=2(f_1+f_2)$, $x = y = 2 f_1$ ...středy křivosti obou zrcadel jsou totožné, předmět je umístěn v tomto společném středu křivosti.

K tomu přistupuje další případ:

5.

Je-li $d = f_1 + f_2$ , jsou rovnice (14) a (16) lineární a mají jediné řešení $x = y = f_1$ ...zrcadla jsou konfokální, tj. mají společné ohnisko a předmět je v tomto jejich společném ohnisku.

Výsledek:

a)

Pro zadané hodnoty vychází $x\simeq 0,419$m, $x_2=0,131$m.

b)

Pro zadané hodnoty vychází $y_1 \simeq 0,419$m, $y_2 \simeq 0,131$m. Hodnotě $x_1$ odpovídá hodnota $y_2$ a hodnotě $x_2$ odpovídá hodnota $y_1$.

Zpět: 2.4.3 Zobrazení dvěma dutými O úroveň výše: 2.4.3 Zobrazení dvěma dutými Pokračovat: 2.4.4 Zobrazení vypuklým a