2.3.10.1 Řešení

Je-li vodivost nulová (), přejde tato disperzní relace ve známou disperzní relaci vln v nevodivém prostředí. Ve vodiči je disperzní relace komplexní, což obecně znamená útlum.

Prostorový útlum: Hledejme nejprve prostorový útlum (řešení v ):

$$c^2 k^2 = \omega^2 + {\rm i}c^2\gamma\mu\omega \sim {\rm i}c^2\gamma\mu\omega\ .$$

Vzhledem k vysoké vodivosti kovů jsme první člen na pravé straně zanedbali. Tento výraz již snadno odmocníme. Nezapomeňte, že :

$$k = k_1 + {\rm i} k_2; \qquad k_1 = \sqrt{\frac{\gamma\mu\omega}{2}}; \qquad k_2 = \sqrt{\frac{\gamma\mu\omega}{2}}\ .$$

Reálná i imaginární část vlnového vektoru je stejně veliká (to je pro kovy typické). V prostoru tedy bude mít vlna charakter . Vlna je tlumená s charakteristickou vzdáleností tlumení

$$\delta_s = \frac{1}{k_2} = \sqrt{\frac{2}{\gamma\mu\omega}}\ .$$

Tuto vzdálenost (do které vlna pronikne) nazýváme skinová hloubka.

Útlum v čase: Hledejme nyní útlum v čase (řešení v ). Disperzní relace je kvadratická rovnice pro s řešením

$$\omega_{1,2} = \frac{-{\rm i}c^2\gamma\mu \pm \sqrt{-c^4\gamma^2\mu^2\omega^2 + 4c^2k^2}}{2}\ .$$

Uvědomíme-li si, že v diskriminantu je vodivostní člen dominantní (kov), zbývá jediné nenulové řešení

$$\omega \cong - {\rm i}c^2\gamma\mu\ .$$

Řešení ve frekvenci je ryze imaginární

$$\omega = \omega_1 + {\rm i} \omega_2;\qquad \omega_1 = 0;\qquad \omega_2 = - c^2\gamma\mu\ .$$

a má charakter útlumu s charakteristickou dobou útlumu

$$\tau = \left\vert \frac{1}{\omega_2} \right\vert = \frac{1}{c^2\gamma\mu}\ .$$

Povšimněte si, že při důsledném dodržení znaménkové konvence (u prostoru +, u času -) ve vlnění typu vyšel útlum v čase i v prostoru.

Zpět: 2.3.10 Elektromagnetická vlna ve O úroveň výše: 2.3.10 Elektromagnetická vlna ve Pokračovat: 2.3.11 Magnetoakustické vlny ***