[*] [*] [*] [*]
Zpět: 2.3.6 Vlna na hluboké O úroveň výše: 2.3.6 Vlna na hluboké Pokračovat: 2.3.7 Vlna na hluboké

2.3.6.1 Řešení

Disperzní relaci budeme hledat ve tvaru \(\omega(k) \sim
k^\alpha \rho^\beta g^\gamma\). Rozměry proto budou splňovat vztah

\begin{displaymath}{\rm s}^{-1} = {\rm m}^{-\alpha} {\rm kg}^\beta {\rm m}^{-3\beta} {\rm m}^\gamma {\rm s}^{-2\gamma}\end{displaymath}

Mocniny u kg, m a s se musí shodovat. Odsud dostaneme soustavu tří rovnic:

\begin{displaymath}\begin{array}{rl}
{\rm kg:} & 0 = \beta\ ,\\
{\rm m:} & 0 = ...
... \beta + \gamma\ ,\\
{\rm s:} & -1 = -2 \gamma,\\
\end{array}\end{displaymath}

která má řešení \(\alpha = \gamma = 1/2; \beta = 0\).

Výsledek: \(\omega \propto \sqrt{gk}\). Vztah jsme obdrželi z rozměrové analýzy a proto by před odmocninou mohl být jakýkoli bezrozměrný multiplikativní koeficient (proto symbol \(\propto\)). Ve skutečnosti je odvozený výraz pro dlouhé vlny správný. Povšimněte si, že výsledek nezávisí na hustotě.

Poznámka: Disperzní relace krátkých vln na hluboké vlně závisí na povrchovém napětí vody, disperzní relace s dlouhovlnnou i krátkovlnnou částí je:

\begin{displaymath}\omega = \sqrt{gk + \frac{\sigma k^3}{\rho}}\ .\end{displaymath}



Milan Šiňor
2000-02-17