2.1.6.1 Řešení

Amplitudu $A$ kmitavého pohybu určíme ze vztahu

$$A=x-y,$$ (2.10)

kde $x$ značí největší prodloužení kmitající pružiny a

$$y=\frac{g(m_1+m_2)}{k}$$ (2.11)

její prodloužení, když je na ní zavěšena miska se závažím (střední prodloužení pružiny při jejím kmitání). Je třeba stanovit $x$.

Při největším prodloužení má pružina potenciální energii pružnosti

$$W_{pmax}=\frac12kx^2,$$ (2.12)

která je součtem tří energií:

a)

Energie $W_{po}$ pružiny, na níž je zavěšena miska (počáteční stav). Platí pro ni

$$W_{po}=\frac12 kx_0^2,$$ (2.13)

kde

$$x_0=\frac{gm_1}{k}$$ (2.14)

značí prodloužení pružiny se zavěšenou miskou.

b)

Kinetická energie $W_k$ odpovídající rychlosti $v_1$, kterou se při dopadu závaží začne miska se závažím pohybovat,

$$W_k=\frac12 (m_1+m_2)v_1^2.$$ (2.15)

c)

Změna $\Delta W_t$ potenciální energie tíhové, když miska se závažím klesne o délku $x-x_0$:

$$\Delta W_t=g(m_1+m_2)(x-x_0).$$ (2.16)

Je třeba ještě stanovit $v_1$ ve vztahu (15). Při dopadu na misku má závaží rychlost $v=\sqrt{2gh}$ a ze zákona zachování hybnosti plyne

$$v_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}\sqrt{2gh}.$$ (2.17)

Do vztahu

$$W_{pmax}=W_{po}+W_k+\Delta W_t$$

dosadíme z (12), (13), (15) a (16), za $x_0$ z (14) a za $v_1$ z (17). Po úpravě dostaneme kvadratickou rovnici pro určení veličiny $x$:

$$kx^2-2g(m_1+m_2)x-\left[\frac{2m_2^2gh}{m_1+m_2} -\frac{m_1g^2( m_1+2m_2)}{k}\right]=0.$$

Podmínce úlohy vyhovuje větší z obou reálných řešení této rovnice, tedy

$$x=\frac{g(m_1+m_2)}{k}+\sqrt{\frac{ g^2m_2^2}{k^2} +\frac{2ghm_2^2}{k(m_1+m_2)}}.$$ (2.18)

Do (10) dosadíme z (18) a (11) a dostaneme

$$A=\sqrt{\frac{g^2m_2^2}{k^2} + \frac{2ghm_2^2}{k(m_1+m_2)}}.$$

Výsledek: $A\simeq 0,21$m.

Zpět: 2.1.6 Kmity misky na O úroveň výše: 2.1.6 Kmity misky na Pokračovat: 2.1.7 Kmity hustoměru plovoucího