2.1.5.1 Řešení

a)

Ze zákona zachování energie máme

$$Mgs=\frac12I\omega_0^2+\frac12Mv^2,~~~~I=\frac12MR^2,~~~~ v=r\omega_0,$$

po dosazení a úpravě dostaneme

$$\omega_0=\frac{2}{R}\sqrt{\frac{gs}{1+2(r/R)^2}}.$$ (2.8)

b)

Energie translačního pohybu disku v okamžiku, kdy $s = 0,50$m, je

$$E_1=\frac12Mv^2,$$

dosazením $v=r\omega_0$, použitím vztahu (8) a úpravou máme

$$E_1=\frac{Mgs}{1+(1/2)(R/r)^2}.$$

Jaké další druhy energie určíme? Určíme energii $E_2$ rotačního pohybu a celkovou kinetickou energii disku $E_3$:

$$E_2=\frac{Mgs}{1+2(r/R)^2},~~~~~E_3=E_1+E_2=Mgs.$$

Požadované podíly jsou

$$p_1=\frac{E_1}{E_2}=2\left(\frac{r}{R}\right)^2,~~~~p_2= \fr... ...{E_3} =\left(1+\frac12\left(\frac{R}{r}\right)^2 \right]^{-1}.$$

c)

Označíme-li tahovou sílu v jednom vlákně $T$, potom z pohybové rovnice translačního pohybu disku

$$Mg-2T=M\varepsilon r$$

určíme

$$T=\frac{Mg}{2(1+2(r/R)^2)},$$

kde za $\varepsilon$ (úhlové zrychlení disku) jsme dosadili výraz

$$\varepsilon=g\frac{r}{R^2/2+r^2}.$$

Pro dané hodnoty $T\simeq 2$N.

d)

Ze zákona zachování energie v poloze disku podle obrázku 9 platí

$$\frac12 I_A\omega'^2=MgH+Mgr\sin \varphi.$$

Z toho určíme

$$\omega'=\frac{2}{R}\sqrt{gH\frac{1+(r/H)\sin \varphi}{1+2(r/R)^2}}.$$ (2.9)

Počátek souřadnicové soustavy ($O, x, y$) (obr. 8 a 9), umístíme do bodu $A$, osa $y$ je daná přímkou $AA_1$, osa $x$ má směr z bodu $A$ doprava. Pak platí

$$x=-r \cos \varphi,$$

$$y=H+r\sin \varphi,$$

$$v_x=\mbox{d}x/\mbox{d}t =r\omega' \sin \varphi,$$

$$v_y=\mbox{d}y/\mbox{d}t=r\omega' \cos \varphi,$$

kde $\omega'=\mbox{d}\varphi /\mbox{d}t$.

V případě $r/H\ll 1$ se výraz (9) zjednoduší. Pak veličina $\omega'$ není funkcí úhlu $\varphi$ a

$$\omega'=\omega_m=\frac{2}{R}\sqrt{\frac{gH}{1+2(r/R)^2}}.$$

Pro pohyb disku dolů platí

$$x=-r,~~~y=H+r\varphi,~~~v_x=0,~~~v_y=r\omega'.$$

Pro pohyb nahoru máme

$$x=r,~~~y=H-r\varphi,~~~v_x=0,~~~v_y=-r\omega'=-r\omega_m +r\omega,$$

kde

$$\omega=\frac{2}{R}\sqrt{\frac{gr\varphi}{1+2(r/R)^2}}.$$

e)

Změna hybnosti disku v okolí jeho obratu je

$$\Delta p_y=2Mr\omega_m.$$

Tato změna nastane za dobu přibližně

$$\Delta t\simeq \frac{\pi}{\omega_m}.$$

Přitom vlákno napíná síla velikosti

$$T'\simeq \frac12Mg+\frac12\frac{\Delta p_y}{\Delta t}.$$

Po dosazení a úpravě dostaneme

$$T'=\frac12Mg\left(1+\frac{2r\omega_m^2}{\pi g}\right).$$

Podmínka, aby nastalo přetržení vlákna, je $T'<T_m$, po dosazení za $T'$ a $\omega_m$ ($H$ položíme rovno $s_m$) a úpravě máme

$$s<s_m=\frac{\pi r}{4}\left(\frac{2T_m}{Mg}-1\right) \left[1+ \frac12 \left(\frac{R}{r}\right)^2\right].$$

Výsledek:

b) $E_1\simeq 9,7.10^{-3}$J, $p_1=5,0.10^{-3}$, $p_2=5,0.10^{-3}$, c) $T\simeq 2$N, e) $s< s_m \simeq 1,9$m.

Zpět: 2.1.5 Maxwellovo kyvadlo O úroveň výše: 2.1.5 Maxwellovo kyvadlo Pokračovat: 2.1.6 Kmity misky na