2.1.4.1 Řešení

a)

Doba kmitu $T$ kyvadla je $T=2\pi \sqrt{I/mgd}$, kde $I$ je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose otáčení, $m$ hmotnost tyče, $d$ vzdálenost těžiště od osy otáčení. V našem případě tedy

$$I=\frac13ml^2,~~~~d=\frac{l}{2}.$$

Potom

$$T=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}}.$$

Odtud

$$l=\frac{3T^2g}{8\pi^2}.$$

b)

Označme $T$ dobu kmitu kyvadla při teplotě $\theta$, $T_1$ dobu kmitu při teplotě $\theta +\Delta \theta$. Pak platí

$$T=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}},~~~~T_1=2\pi\sqrt{\frac{2l(1+\alpha \Delta \theta)}{3g}}.$$

Změna $\Delta T_1$ je tedy

$$\Delta T_1=T_1-T=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}}(\sqrt{1+\alpha \Delta \theta}-1)\simeq T\frac{\alpha \Delta \theta}{2}.$$

Pro $\Delta t_1$ dostaneme

$$\Delta t_1=-\frac{T_d}{T}\Delta T_1\simeq -\frac{\alpha T_d \Delta \theta}{2},$$

kde $T_d = 1$den$= 86 400$s. Hodiny s teplotou $\theta +\Delta \theta$ se za jeden den zpozdí o dobu $\mid \Delta t_1 \mid$ v porovnání s hodinami s teplotou $\theta$, když $\Delta \theta > 0$ a $\alpha > 0$.

c) Změna $\Delta T_2$ doby kmitu kyvadla při změně nadmořské výšky souvisí se změnou tíhového zrychlení z hodnoty $g$ na hodnotu $g_h$, přičemž

$$\frac{g_h}{g}=\frac{R_Z^2}{(R_Z+\Delta h)^2},$$

kde $R_Z$ je poloměr Země. Doba kmitu $T_2$ kyvadla v místě s nadmořskou výškou $h + \Delta h$ je

$$T_2=2\pi \sqrt{\frac{2l}{3g}}\left(1+\frac{\Delta h}{R_Z}\right).$$

Změna doby kmitu je

$$\Delta T_2=T_2-T=T\frac{\Delta h}{R_Z}.$$

Rozdíl $\Delta t_2$ v měřeném čase za jeden den bude

$$\Delta t_2=-\frac{T_d}{T}\Delta T_2=-\frac{T_d\Delta h}{R_Z}.$$

Hodiny v nadmořské výšce $h + \Delta h$ se opozdí za jeden den o dobu $\mid \Delta t_2 \mid$, jestliže ve výšce $h$ šly správně.

d)

Změně doby kmitu kyvadla se změnou teploty lze zabránit např. kombinací ocelové a mosazné tyče (obr. 5) nebo pomocí ocelové tyče ponořené do nádoby se rtutí (obr. 6). Uvedenými konstrukcemi lze dosáhnout toho, že podíl ve vztahu pro dobu kmitu fyzikálního kyvadla se s teplotou nemění.

Obr. 5	Obr. 6

Výsledek:

a) $l\simeq 1,5$m, b) $\Delta T_1 = 1,8.10^{-4}$s, $\Delta t_1 = -7,8$s, c) $\Delta T_2 = 6,3.10^{-5}$s, $\Delta t_2 = - 2,7$s.

Zpět: 2.1.4 Hodinové kyvadlo O úroveň výše: 2.1.4 Hodinové kyvadlo Pokračovat: 2.1.5 Maxwellovo kyvadlo