2.7.15.1 Řešení

Hodnoty základních konstant jsou:

$$\begin{array}{rll} G=&6.6720\times 10^{-11}\textrm{ kg}^{-1}... ...c=&2.997924580\times 10^{8}\textrm{ ms}^{-1} &.\\ \end{array}$$

Nalezněme takovou mocninnou kombinaci, která má rozměr času:

$$t_{P}=G^{\alpha }\hbar ^{\beta }c^{\gamma } .$$

Rozměry obou stran rovnosti jsou:

$$\textrm{s}=\textrm{kg}^{-\alpha }\textrm{m}^{3\alpha }\textrm... ...\textrm{s}^{-\beta }\textrm{m}^{\gamma }\textrm{s}^{-\gamma } .$$

Po porovnání mocnin u jednotlivých rozměrů získáme soustavu rovnic:

$$\begin{array}{rl} {\rm m:} & 0=3\alpha +2\beta +\gamma ,\\ {... ...beta ,\\ {\rm s:} & 1=-2\alpha -\beta -\gamma ,\\ \end{array}$$

Řešení soustavy je jediné:

$$\alpha =\frac{1}{2},\qquad \beta =\frac{1}{2},\qquad \gamma =-\frac{5}{2} \ .$$

Planckův čas proto je

$$t_{P}=\sqrt{\frac{G\hbar }{c^{5}}}\sim 10^{-43}\textrm{ s}.$$

Obdobný postup použijte i pro ostatní veličiny.

Výsledek:

$$\begin{array}{rl} t_{P}=&\sqrt{\frac{G\hbar }{c^{5}}}\sim 10... ...\sim 10^{19}\textrm{ GeV}\sim 10^{9}\textrm{ J}.\\ \end{array}$$