2.1.2.1 Řešení

Závěsná vlákna svírají s vertikálním směrem úhel $\varphi$ (v rovnovážné poloze je $\varphi=0$). Pohyb tyčky je popsán pohybovou rovnicí

$$M=J\frac{\mbox{d}^2 \alpha}{\mbox{d}t^2},$$ (2.1)

kde $M$ je velikost momentu vnějších sil, $J$ moment setrvačnosti tyčky vzhledem k ose $o$. Označíme-li délku tyčky $d$ a její hmotnost $m$, pak moment setrvačnosti

$$J=\frac{1}{12}md^2.$$

Nyní určíme velikost momentu $M$. Otáčivý pohyb způsobují jen složky tíhové síly působící na tyčku. V rovnovážné poloze se tíhová síla ruší pevností závěsu. Je-li vlákno vychýleno o úhel $\varphi$, ruší se jen složka ve směru závěsu, složka tíhové síly kolmá na závěs udává otáčivý moment. Element momentu $\mbox{d}M$ stanovíme podle obr. 3.

Obr. 3	Obr. 4

Uvažujeme dva symetricky položené elementy tyčky $\mbox{d}m$ ve vzdálenosti $r$ od osy otáčení. Na každý z těchto elementů působí ve směru kolmém k závěsům stejně velká elementární síla

$$\mbox{d}F'=-(\mbox{d}m)g\sin \varphi.$$ (2.2)

Její průmět do vodorovné roviny je

$$\mbox{d}F=\mbox{d}F'\cos \varphi =-(\mbox{d}m)g\sin \varphi \cos \varphi$$ (2.3)

a vytváří dvojici sil o momentu

$$\mbox{d}{\bf M}=2{\bf r}\times \mbox{d}{\bf F}.$$ (2.4)

Vektor $\mbox{d}{\bf M}$ leží v ose $o$, vektory ${\bf r}$ , $\mbox{d}{\bf F}$ pak leží ve vodorovné rovině. Velikost momentu $\mbox{d}{\bf M}$ je

$$\mbox{d}M=2r\mbox{d}F\sin \beta,$$ (2.5)

kde $\beta$ je úhel, který svírají vektory ${\bf r}$ a $\mbox{d}{\bf F}$. Úhel $\beta$ určíme z rovnoramenného trojúhelníku $OCC'$ (obr. 4): $\beta =1/2(\pi-\alpha)$. Dosazením (3) a $\beta$ do (5) dostaneme

$$\mbox{d}M=-2\frac{m}{d}g \sin \varphi \cos \varphi \sin \frac12(\pi -\alpha)r\mbox{d}r,$$

kde jsme za $\mbox{d}m$ dosadili $\mbox{d}m =(m/d)\mbox{d}r$.

Protože všechny elementární momenty mají stejný směr, tj. směr osy $o$, můžeme je sečíst algebraicky:

$$M=-2\frac{m}{d}g\sin \varphi \cos \varphi \sin \frac12(\pi -... ...ac{d^2}{8}\sin \varphi \cos \varphi \sin \frac12(\pi -\alpha),$$

$$M=-\frac18mgd\cos \frac{\alpha}{2}\sin 2\varphi.$$

Při malých výchylkách je $\cos \alpha/2 \simeq 1$, $\sin 2\varphi\simeq 2\varphi$:

$$M=-\frac14mgd\varphi$$

a jelikož podle obrázku je $\varphi=CC'/l=\alpha d/2l$, $\alpha=(2l/d)\varphi$, dostaneme

$$M=-\frac{1}{8l}mgd^2\alpha.$$ (2.6)

Dosadíme (6) do pohybové rovnice (1), pak po úpravě obdržíme

$$\frac{\mbox{d}^2 \alpha}{\mbox{d}t^2}+\frac{3g}{2l}\alpha=0.$$ (2.7)

Výsledek: Rovnice (7) je rovnice harmonických kmitů s úhlovou frekvencí $\omega$ a periodou kmitů $T$:

$$\omega^2=\frac{3g}{2l},~~~~~T=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}}.$$

Zpět: 2.1.2 Kmity homogenní tyče O úroveň výše: 2.1.2 Kmity homogenní tyče Pokračovat: 2.1.3 Kmity nabité kuličky