2.6.8.1 Řešení

a)

Zdánlivá frekvence zdroje blížícího se rychlostí $v$ k pozorovateli, který je v klidu, je $f'=fc/(c-v)$, kde $f$ je frekvence zdroje, $c$ je rychlost zvuku.

b)

Blíží-li se pozorovatel ke zdroji, který je v klidu, rychlostí $u$, je zdánlivá frekvence $f''=f(c+u)/c$.

c)

Pohybuje-li se zdroj směrem k pozorovateli rychlostí $v$ a současně se pohybuje pozorovatel směrem ke zdroji rychlostí $u$, je zdánlivá frekvence

$$f_1=f'\frac{c+u}{c}= f\frac{c}{c-v}\frac{c+u}{c} =f\frac{c+u}{c+v}.$$

d)

Pohybuje-li se zdroj rychlostí $v$ a současně pozorovatel rychlostí $u=-v$, čili zdroj a pozorovatel se pohybují stejnou rychlostí týmž směrem, je

$$f_2=f\frac{c-v}{c-v}=f,$$

čili zdánlivá frekvence se rovná frekvenci zdroje.

Ve všech případech jsou rychlosti měřeny vůči prostředí, kterým se zvuk šíří, v našem případě vzduchu, o němž předpokládáme, že je vůči Zemi v klidu.

Je-li rychlost první lokomotivy $v$, rychlost druhé $u$, potom pozorovatel na druhé lokomotivě podle c) a d) zjistí rázy frekvence

$$f_{r2}=f\frac{c+u}{c-v}-f=f\frac{u+v}{c-v}=b.$$ (2.78)

Podobně pozorovatel na první lokomotivě zjistí rázy frekvence

$$f_{r1}=f\frac{c+v}{c-u}-f=f\frac{u+v}{c-u}=a.$$ (2.79)

Z rovnic (16) a (17) získáme

$$u=\frac{ab+(a-b)f}{ab+(a+b)f}c, ~~~~ v=\frac{ab+(b-a)f}{ab+(a+b)f}c.$$

Výsledek: Dosadíme-li sem číselné hodnoty, je $u = 21$m.s$^{-1}$, $v = -10,5$m.s$^{-1}$. Obě lokomotivy jedou stejným směrem, druhá se k prvé přibližuje.

Zpět: 2.6.8 Dopplerův jev O úroveň výše: 2.6.8 Dopplerův jev Pokračovat: 2.6.9 Optická mřížka a