2.6.1.1 Řešení

a)

Důkaz provedeme matematickou indukcí.

1. Dokážeme, že tvrzení platí pro $i=1$ (obr. 1). Podle zákona lomu

$$\frac{\sin \alpha_0}{\sin \alpha}=n_1=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha},$$

z toho $\beta=\alpha_0$.

2. Podle předpokladu z $i$-té destičky vystupuje paprsek do vakua pod úhlem $\alpha_0$ (obr. 2), proto

$$\frac{\sin \alpha_i}{\sin \alpha_0}=\frac{1}{n_i}, ~~~ \sin \alpha_i=\frac{1}{n_i}\sin \alpha_0.$$ (2.63)

Pro přechod paprsku z $i$-té destičky do těsně přiložené ($i+1$) destičky platí

$$\frac{\sin \alpha_i}{\sin \alpha_{i+1}}= \frac{n_{i+1}}{n_i}, ~~~ \sin \alpha_{i+1}=\frac{n_i}{n_{i+1}}\sin \alpha_i.$$ (2.64)

Dosazením z (1) do (2) dostaneme

$$\sin \alpha_{i+1}=\frac{\sin \alpha_0}{n_{i+1}}.$$ (2.65)

Pro přechod z ($i+1$) destičky do vakua platí

$$\frac{\sin \beta}{\sin \alpha_{i+1}}=n_{i+1}$$

a po dosazení z (3): $\sin \beta =\sin \alpha_0$, tj. $\beta=\alpha_0$. Tím jsme dokázali, že paprsek dopadající a paprsek vycházející ze soustavy destiček jsou navzájem rovnoběžné.

Obr. 3

b)

Obr. 3: v pravoúhlých trojúhelnících platí:

$$a_i=d_i\,\tan \alpha_i.$$

Pomocí (1) dostaneme

$$a_i=\frac{\sin \alpha_0}{\sqrt{n_i^2-\sin^2 \alpha_0}}d_i.$$

Potom

$$a=\sum_{i=1}^{k}a_i=\sin \alpha_0\sum^k_{i=1} \frac{d_i}{ \sqrt{n_i^2-\sin ^2 \alpha_0}}.$$ (2.66)

c)

Z pravoúhlého trojúhelníka $ABD$ na obr. 3: $BD=d\tan \alpha_0$. Z pravoúhlého trojúhelníka $CDE$: $CD=b/\cos \alpha_0$. Protože $BD=BC+CD$, platí:

$$d\tan \alpha_0=a+\frac{b}{\cos \alpha_0}.$$

Odtud $b=d\sin \alpha_0=a\cos \alpha_0$ a po dosazení ze (4)

$$b=\sin \alpha_0\sum_{i=1}^kd_i\left(1- \sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha_0}{n_i^2- \sin^2\alpha_0}}\right).$$

Obr. 4

d)

Obr. 4: z pravoúhlého trojúhelníka $a=d\tan \alpha$, přičemž $\sin \alpha =\frac{1}{n_i}\sin \alpha_0$. Odtud

$$n=\frac{\sin \alpha_0}{\sin \alpha}=\sin \alpha_0 \frac{1}{ ... ...c{a}{\sqrt{ a^2+d^2}}}=\sin \alpha_0\sqrt{ \frac{d^2}{a^2}+1}.$$

Po dosazení z (4) a úpravě

$$n=\sqrt{\left(\frac{ \sum\limits_{i=1}^{k}d_i} {\sum\limits_... ..._i}{\sqrt{n_i^2-\sin^2\alpha_0}}} \right)^2+\sin^2\alpha_0 }.$$

Výsledek: Pro zadané hodnoty: $a\simeq 5,80.10^{-3}$m, $b\simeq 3,98.10^{-3}$m, $n=1,63$.

Zpět: 2.6.1 Lom na soustavě O úroveň výše: 2.6.1 Lom na soustavě Pokračovat: 2.6.2 Interference záření ze