2.5.0.2.1 Odvození zobrazovací rovnice optické soustavy

Dvě prostředí o absolutních indexech lomu $N$ a $N'$ jsou oddělena částí kulové plochy, tj. kulovým rozhraním. Prostor vlevo od kulové plochy je skutečný prostor předmětový, vpravo skutečný prostor obrazový. Každá přímka vedená středem koule může být optickou osou. Zvolme tuto osu vodorovnou a na ní v prostředí o indexu lomu $N$ bod $X$. Tímto bodem veďme paprsek, který svírá s optickou osou úhel $\sigma$ a který dopadá na kulovou plochu v bodě $A$ pod úhlem $\varepsilon$. Zde se paprsek lomí do prostředí s indexem lomu $N'$, takže s kolmicí k rozhraní v bodě $A$ svírá úhel $\varepsilon'$ a optickou osu protíná pod úhlem $\sigma'$ v bodě $X'$. Úhel kolmice dopadu vztyčené v bodě dopadu $A$ s optickou osou označme $\omega$.

Označme průsečík optické osy s kulovou plochou, tzv. vrchol plochy, písmenem $V$ a průsečík kolmice spuštěné z bodu $A$ na optickou osu $V_{1}$. Je-li úhel $\omega$ malý, pak můžeme přibližně říci, že kolmice spuštěná z bodu $A$ na optickou osu protíná optickou osu v bodě $V$, tj. že body $V_{1}$ a $V$ jsou totožné. Označme dále

$$VX = x,\qquad VX' = x',\qquad VS = r, \qquad V_{1}A = s.$$

Poněvadž $s$ je malé, lze psát

$$\sigma \approx \tan \sigma = \frac{s}{-x},\qquad \sigma' \ap... ...rac{s}{-x'}, \qquad \omega \approx \tan \omega = \frac{s}{-r}.$$ (2.47)

a ze zákona Snellova plyne pro malé úhly

$$N\varepsilon = N'\varepsilon'.$$ (2.48)

Z $\Delta XSA$ a z $\Delta SX'A$ plyne

$$\varepsilon = \sigma - \omega,\qquad \varepsilon' = -\omega + \sigma'$$

a dosazením do (2) dostáváme

$$N(\sigma - \omega) = N'(- \omega + \sigma').$$

a úpravou

$$N\sigma - N'\sigma' = (N - N')\omega.$$

Dosazením z (1) vychází

$$\frac{N}{x} - \frac{N'}{x'} = \frac{N - N'}{r},$$ (2.49)

což je zobrazovací rovnice optické soustavy. Známe-li $N$, $N'$a $r$, můžeme ke každému $x$ určit příslušné $x'$. Tato vzdálenost nezávisí za uvedeného omezení na úhlu $\sigma$. Bod předmětový $X$ a bod obrazový $X'$ se nazývají sdruženými (konjugovanými) vzhledem k lámavé ploše.

Pro předmět v nekonečnu, tj. pro $x \to \infty$ , dostáváme z (3)

$$x' = \frac{N'r}{N' - N}.$$

Tuto vzdálenost nazýváme obrazovou ohniskovou vzdáleností zobrazovací soustavy a označujeme jí $f'$. Jestliže $x' \to \infty$, tzn. že obraz má vzniknout v nekonečnu, potom z (3) plyne

$$x = -\frac{Nr}{N' - N},$$

Tuto vzdálenost nazýváme předmětovou ohniskovou vzdáleností zobrazovací soustavy a označujeme jí $f$. Platí tedy pro ohniskové vzdáleností

$$f' = \frac{N'r}{N' - N},$$ (2.50)

$$f = -\frac{Nr}{N' - N}.$$ (2.51)

Je-li $N' > N$ a $r > 0$, je $f < 0$, $f' > 0$, je-li $N' < N$ a $r > 0$, je $f > 0$, $f' < 0$. Tak např. pro korunové sklo ($N' \doteq 1,5$) vychází $f =-2r$, $f' = 3r$. Naneseme-li na optickou osu od bodu $V$ vzdálenost $f$ a vzdálenost $f'$ a respektujeme-li znaménka, dostaneme předmětové ohnisko $F$ a obrazové ohnisko $F'$ (obr. 5).

Násobíme-li zobrazovací rovnici optické soustavy (3) výrazem $\frac{r}{N' - N}$, dostaneme

$$\frac{Nr}{N' - N} \cdot \frac{1}{x} - \frac{N'r}{N' - N} \cdot \frac{1}{x'} = -1$$

a užitím (4) a (5) dostaneme

$$\frac{f}{x} + \frac{f'}{x'} = 1,$$ (2.52)

což je upravena zobrazovací rovnice optické soustavy ve tvaru Gaussově.

Zobrazovací rovnici pro čočku, tzv. čočkovou rovnici, můžeme psát pak ve tvaru

$$\frac{f}{x} - \frac{f}{x'} = 1,$$

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{x'} = \frac{1}{f} \qquad {\textrm{nebo}} \qquad \frac{1}{x'} - \frac{1}{x} = \frac{1}{f'},$$

kde $x$ a $x'$ jsou vzdálenosti předmětu, resp. obrazu, měřené od příslušných kladných hlavních rovin, nebo ve tvaru Newtonově

$$qq' = -f^2.$$

Z čočkové rovnice vychází pro čočku:

x	$-\infty$	$2f$	$f$	$\frac{f}{2}$	$\frac{f'}{2}$	$2f'$	$+\infty$
x'	$f'$	$2f'$	$+\infty$	$f$	$f'$	$2f$	$f$

;

Zpět: 2.5.0.2 Lom kulovou lámavou O úroveň výše: 2.5.0.2 Lom kulovou lámavou Pokračovat: 2.5.0.2.2 Zobrazovací rovnice pro