2.4.1 Zobrazení ze skleněné koule

Zadání:

Uvnitř velké koule o poloměru $R$, zhotovené ze skla o indexu lomu $n$ je umístěná desetihaléřová mince tak, že kolmice k minci sestrojená z jejího středu splývá s průměrem koule. Jestliže koulí otáčíme proti světlu, můžeme pozorovat dva optické obrazy mince kruhového tvaru, a to jeden s minimálním a druhý s maximálním průměrem.

a)

Určete zvětšení $Z_1$ a $Z_2$ průměru vytvořených obrazů a jejich poměr.

b)

Určete místo uložení mince (předmětovou vzdálenost) jako funkci $k$.

c)

Určete skutečný průměr mince, jestliže znáte velikosti $d'_1$, $d'_2$ průměrů pozorovaných obrazů.

Úlohu řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty: $n =$ 1,50, $d'_1=$ 18,4mm, $d'_2=$ 34,2mm.

Předpoklad: Mince ve srovnání s koulí je malá a proto můžeme použít zákony zobrazování paraxiální optiky.

Obr. 1

Návod: Odvodíme nejprve zobrazovací rovnici pro zobrazení bodů z vnitřku skleněné koule do vnějšího prostoru (obr. 1). Pro malé úhly $\varepsilon$, $\alpha$ a $\beta$ můžeme psát

$$\varepsilon R=(\varepsilon + \alpha)a=(\varepsilon + n\alpha)a',$$

$$(R-a)\varepsilon=a\alpha\,,$$

kde $a$ je předmětová vzdálenost, a $a'$ je obrazová vzdálenost. Význam úhlů $\varepsilon$, $\alpha$ je zřejmý z obr. 1. Vyloučením $\varepsilon$, $\alpha$ z rovnic a další úpravou dostaneme

$$\frac{n}{a}-\frac{1}{a'}=\frac{n-1}{R}\,.$$ (2.25)

Pro zvětšení $Z$ vyplývá z obr. 1

$$Z=\frac{y'}{y}=\frac{R-a'}{R-a}.$$

Po dosazení za $R$ z (1) a po úpravě dostaneme

$$Z=n\frac{a'}{a},$$ (2.26)

$y$ udává polovinu průměru mince, $y'$ udává polovinu průměru obrazu mince.

Zpět: 2.4.0 Přehled vztahů O úroveň výše: 2.4 Geometrická optika 1 Pokračovat: 2.4.1.1 Řešení