[*] [*] [*] [*]
Zpět: 2.7.21 Konečná potenciálová bariera O úroveň výše: 2.7.21 Konečná potenciálová bariera Pokračovat: 3. Výukové programy

2.7.21.1 Řešení

:

Nechť částice dopadají na potenciálovou barieru z levé strany (pohybují se zleva doprava).

Řešení problému si rozdělíme na tři části:

I.
$ U = 0 $ pro $x < 0$
II.
$ U = U_0 $ pro $ 0 < x < a $
III.
$ U = 0 $ pro $x>a$.
Napíšeme-li příslušné Schrödingerovy rovnice pro jednotlivé oblasti I, II, III a provedeme jejich řešení, dostaneme odpovídající vlnové funkce ve tvaru

\begin{displaymath} \psi _I = A_1 e^{{\rm i}k_1 x} + B_1 e^{ - {\rm i}k_1 x} \ \ \ \ \ \ x < 0\ , \end{displaymath}


 
 \begin{displaymath}{ } \psi _{II} = A_2 e^{{\rm i}k_2 x} + B_2 e^{ - {\rm i}k_2 x} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \le x \le a\ , \end{displaymath} (2.103)


\begin{displaymath} \psi _{III} = A_3 e^{{\rm i}k_1 x} + B_3 e^{ - {\rm i}k_1 x} \ \ \ \ \ \ x > a \ , \end{displaymath}

kde $ k_1 = \left( {\frac{{2mE}}{{\hbar ^2 }}} \right)^{{1/2}} $ a $ k_2 = \left( {\frac{{2m\left( {E - U_0 } \right)}}{{\hbar ^2 }}} \right)^{1/2}$. Předpokládejme, že amplituda dopadající rovinné vlny $A_1 = 1$. Dále položme koeficient $ B_3 $ roven nule, neboť podle předpokladu, částice dopadají na potenciálovou bariéru ve směru kladné osy $x$. Použijeme-li podmínek pro spojitost vlnové funkce a její první derivace na hranicích oblastí I, II, III

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \psi _I \left( { - 0} \right) = \psi _{II}... ...ight) = \psi '_{III} \left( { + a} \right) \\ \end{array}\ , \end{displaymath}

dostaneme rovnice pro výpočet amplitud $A_2$, $B_2$, $B_1$, $A_3$:

\begin{displaymath} 1 + B_1 = A_2 + B_2\ , \ \ \ \ \ A_2 e^{{\rm i}k_2 a} + B_2 e^{{\rm - i}k_2 a} = A_3 e^{{\rm i}k_1 a}\ , \end{displaymath}


 
 \begin{displaymath}{ } k_1 \left( {1 - B_1 } \right) = k_2 \left( {A_2 - B_2 } \... ...\rm - i}k_2 a} = \frac{{k_1 }}{{k_2 }}A_3 e^{{\rm i}k_1 a}\ . \end{displaymath} (2.104)

Jestliže nyní je $E < U_0 $ můžeme koeficient $k_2$, který je ryze imaginární napsat ve tvaru $k_2 = {\rm i}\kappa $, kde $\kappa = \left[ {\frac{{2m\left( {U_0 - E} \right)}}{{\hbar ^2 }}} \right]^{1/2}$ a dosadit do rovnice (2.104) . Řešením soustavy rovnic (2.104) určíme amplitudy $A_3$ a $B_1$:

\begin{displaymath} A_3 = \frac{{4{\rm i}k_1 \kappa e^{ - {\rm i}k_1 a} }}{{\lef... ... \left( {k_1 - {\rm i}\kappa } \right)^2 e^{ - \kappa a} }}\ , \end{displaymath}


\begin{displaymath} B_1 = \frac{{2\left( {k_1^2 + \kappa ^2 } \right)\sinh \left... ... \left( {k_1 - {\rm i}\kappa } \right)^2 e^{ - \kappa a} }}\ . \end{displaymath}

Koeficient odrazu $R$ a propustnosti $D$ určíme podle definice jako poměr hustoty toku odražených (resp. prošlých) částic k toku dopadajících. Vzhledem k tomu, že jsme zvolili amplitudu $A_1 = 1$, je hustota toku dopadajících částic $J_0 = \frac{{\hbar k_1 }}{m}$. Potom koeficienty R a D se tedy rovnají
 
 \begin{displaymath}{ } D = \frac{{J_D }}{{J_0 }} = \left\vert {A_3 } \right\vert... ... \kappa ^2 } \right)^2 \sinh \kappa a + 4k_1^2 \kappa ^2 }}\ . \end{displaymath} (2.105)

Z těchto vztahů můžeme jednoduše ukázat platnost zákona zachování počtu částic. Platí $R+D=1$. Předpokládáme-li $ \kappa a > > 1$, pak $\sinh \kappa a \approx \frac{1}{2}e^{\kappa a}$. Tím koeficient propustnosti (2.105) můžeme zjednodušit na tvar:

\begin{displaymath} D \cong \frac{{16k_1^2 \kappa ^2 }}{{\left( {k_1^2 + \kappa ^2 } \right)^2 }}e^{ - 2\kappa a}\ . \end{displaymath}

Tento vztah udává závislost koeficientu propustnosti na šířce a výšce potenciálové bariery jako exponenciální funkci.
 
 \begin{displaymath}{ } D = D_0 e^{ - \frac{2}{\hbar }\sqrt {2m\left( {U_0 - E} \right)} a} \ , \end{displaymath} (2.106)

kde $D_0 = \frac{{16k_1^2 \kappa ^2 }}{{\left( {k_1^2 + \kappa ^2 } \right)^2 }}$. Z této závislosti je patrné, že pravděpodobnost průchodu částice potenciálovou barierou, tzv. tunelový efekt, je prakticky různá od nuly jen v případech mikroskopických rozměrů potenciálové bariery ( $a \approx 10^{ - 15} {\rm m}$) a hmotnosti dopadajících částic rovné hmotnosti mikročástic ( $m \approx 10^{ - 27} {\rm kg}$). To znamená, že tunelový jev je omezen na oblast mikrosvěta. Uplatnění na první pohled pradoxního chování částic (z hlediska klasické mechaniky) je velmi široké, neboť pomocí tunelového efektu je možno vysvětlit radioaktivní rozpad $\alpha$, dělení jader uranu, studenou emisi elektronů v silném elektrickém poli atd.

[*] [*] [*] [*]
Zpět: 2.7.21 Konečná potenciálová bariera O úroveň výše: 2.7.21 Konečná potenciálová bariera Pokračovat: 3. Výukové programy
Milan Šiňor
2000-02-17