2.7.20.1 Řešení

Průběh potenciálové jámy je možné napsat ve tvaru: $U(x) = 0$ pro $\left\vert x \right\vert < a$, $U(x) = U_0$ pro $\left\vert x \right\vert \ge a$. Řešení tohoto problému si proto rozdělíme na řešení Schrödingerovy rovnice pro obě uvedené oblasti. V případě, kdy $\left\vert x \right\vert < a$ je obecné řešení

 

$${ } \psi _1 = A \sin \alpha x + B \cos \alpha x\ ,$$ (2.93)

kde $\alpha = \left( {\frac{{2mE}}{{\mathop \hbar \nolimits^2 }}} \right)$. Nyní se omezíme na řešení této rovnice v intervalu $\left\vert x \right\vert \ge a$, která ma tvar

$$- \frac{{\mathop \hbar \nolimits^2 }}{{2m}}\frac{{{\rm d}^{\rm 2} \psi }}{{{\rm dx}^{\rm 2} }} + U_0 \psi = E\psi\ .$$

Obecné řešení této rovnice pro případ $E < U_0$ (vázane stavy) je dáno výrazem

$$\psi _2 = C_1 {\rm e}^{{\rm - }\beta x} + D_1 {\rm e}^{\beta x}\ \ \ \rm {pro}\ x \le -a$$

 

$${ } \psi _3 = {\rm C}_{\rm 2} {\rm e}^{{\rm - }\beta {\rm x}} + {\rm D}_{\rm 2} {\rm e}^{\beta x}\ \ \ \rm {pro}\ x > a\ ,$$ (2.94)

kde $\beta = \left[ {\frac{{2m(U_0 - E)}}{{\hbar ^2 }}} \right]^{1/2}$. Vzhledem k hraničním podmínkám pro $x \to \pm \infty$ (kdy vlnová funkce musí konvergovat k nule) je třeba, aby v oblasti $x>a$ bylo v obecném řešení (2.94) $D_2 = 0$ a v oblasti $x<-a$ bylo $C_1 = 0$. Tím řešení (2.94) dostaneme ve tvaru

 

$${ } \psi _2 = D_1 {\rm e}^{\beta {\rm x}} \ \ \ \ \ \psi _3 = C_2 {\rm e}^{ - \beta {\rm x}}$$ (2.95)

V důsledku spojitosti vlnové funkce a její první derivace v celém prostoru, musí v bodech $x = .a$ platit

$$\psi _2 \left( { - a} \right) = \psi _1 \left( { - a} \right)\ ,$$

$$\psi _1 \left( {a} \right) = \psi _3 \left( {a} \right)\ ,$$

$$\psi '_2 \left( { - a} \right) = \psi '_1 \left( { - a} \right)\ ,$$

 

$${ } \psi '_1 \left( a \right) = \psi '_3 \left( a \right)\ .$$ (2.96)

Tím po dosazení z (2.93) a (2.94) dostaneme pro koeficienty $A$, $B$, $C_2$ a $D_1$ soustavu čtyř lineárních homogenních rovnic

$$D_1 e^{ - \beta a} + A \sin \alpha a - B \cos \alpha a = 0\ ,$$

$$C_2 e^{ - \beta a} - A \sin \alpha a - B \cos \alpha a = 0\ ,$$

$$D_1 \beta e^{ - \beta a} - A\alpha \cos \alpha a - B\alpha \sin \alpha a = 0\ ,$$

$$C_2 \beta e^{ - \beta a} + A\alpha \cos \alpha a - B\alpha \sin \alpha a = 0\ .$$

Aby tato soustava měla řešení, musí determinant soustavy být roven nule

$$\beta ^2 - \alpha ^2 + 2\alpha \beta \,\rm {cotg}\, 2\alpha \beta = 0\ .$$

Jestliže tuto kvadratickou rovnici rozřešíme vzhledem k $\beta$, dostaneme dvě podmínky pro řešení rovnic (2.96)

 

$${ } \beta = \alpha \,\rm {tg}\, \alpha a\ , \ \ \ \ \ \ \ \beta = - \alpha \,\rm {cotg}\, \alpha a$$ (2.97)

Obě tyto podmínky však nelze splnit současně a proto můžeme obecné řešení rovnic (2.96) rozdělit na dvě třídy řešení. První třída platí pro $\beta = \alpha \,{\rm tg}\,\alpha a$. Po dosazení za $\beta$ do (4) dostaneme

 

$${ } A = 0\ , \ \ \ \ C_2 = D_1\ , \ \ \ B = \frac{{C_2 e^{ - \beta a} }}{{\cos \alpha a}}\ .$$ (2.98)

Druhá třída patí pro $\beta = - \alpha \,\rm {cotg}\, \alpha a$

 

$${ } B = 0\ , \ \ \ \ C_2 = - D_1\ , \ \ \ A = \frac{{C_2 e^{ - \beta a} }}{{\sin \alpha a}}\ .$$ (2.99)

Energetické hladiny částice určíme numerickým nebo grafickým řešením rovnic (2.97). Proto si ukážeme jednoduchou grafickou metodu jak lze energetické hladiny určit. Položme $x = \beta$, $y = \alpha a$. Potom rovnice (2.97) dostávají tvar $x = y\,{\rm tg}\, y$ a $x = - y\,{\rm cotg}\,y$, přitom však veličiny $x$, $y$ splňují rovnost

$$x^2 + y^2 = \frac{{2ma^2 U_0 }}{{\hbar ^2 }}\ .$$

Vzhledem k tomu, že $x$, $y$ mohou nabývat pouze kladných hodnot, úroveň energie částice určují body (ležící v prvém kvadrantu), ve kterých se protíná křivka $x = y\,{\rm tg}\, y$ (nebo $x = - y\,{\rm cotg}\,y$) s kružnicí $x^2 + y^2 = r^2$, kde $r^2 = \frac{{2ma^2 U_0 }}{{\hbar ^2 }}$. Tím máme určeny energetické hladiny příslušné dané vlnové funkci (tj. ve stavu částice), která pro případ prvé třídy řešení je vzhledem k (2.93), (2.95) a (2.98) rovna

$$\psi _1 = \frac{{C_2 \rm {e}^{ - \beta a} }}{{\cos \alpha a}... ...pha x\ \ \ \rm {pro} \ \ \left\vert \it {x} \right\vert < a\ ,$$

$$\psi _2 = C_2 \rm {e}^{\beta x}\ \ \ \rm {pro} \ \ \ \it {x} < -\it {a}\ ,$$

 

$${ } \psi _3 = C_2 \rm {e}^{- \beta x}\ \ \ \rm {pro} \ \ \ \it {x} > \it {a}$$ (2.100)

a pro případ druhé třídy řešení má tvar

$$\psi _2 = \frac{{C_2 \,\rm {e}\,^{ - \beta a} }}{{\sin \alpha a}}\sin \alpha x\ ,$$

$$\psi _2 = -C_2 \,\rm {e}\,^{\beta x}\ ,$$

 

$${ } \psi _3 = C_2 \,\rm {e}\,^{- \beta x}\ .$$ (2.101)

Aby řešení dané úlohy bylo úplné, je nutné určit koeficient $C_2$ z normovací podmínky. Pro první případ vzhledem k (2.100) dostaneme

$$\begin{array}{l} \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\le... ...}{\alpha }\,{\rm tg}\,\alpha a} \right] = 1\ . \\ \end{array}$$

Jestliže nyní využijeme vztahu $\beta = \alpha \,{\rm tg}\,\alpha a$, dostaneme již konečný výraz pro koeficient $C_2$

 

$${ } \frac{1}{{\left\vert {C_2 } \right\vert^2 }} = ae^{ - 2\b... ...^2 }}{{\alpha ^2 }} + \frac{\beta }{{\alpha ^2 a}}} \right]\ .$$ (2.102)

Analogickým způsobem můžeme určit koeficient $C_2$ i pro druhé řešení dané vztahy (2.101). Hledaný koeficient je však opět dán výrazem (2.102).

Zpět: 2.7.20 Konečná jáma ** O úroveň výše: 2.7.20 Konečná jáma ** Pokračovat: 2.7.21 Konečná potenciálová bariera