2.7.19.1 Řešení

Vzhledem k tomu, že stěny jámy jsou ideálně nepropustné, částice se může vyskytovat pouze uvnitř intervalu

$$\left\vert x \right\vert < \frac{a}{2}\ .$$

Vně tohoto intervalu je tudíž vlnová funkce rovna nule. Pro vlnovou funkci proto musí platit hraniční podmínky

$$\psi \left( {\frac{a}{2}} \right) = \psi \left( { - \frac{a}{2}} \right) = 0\ .$$

Při hledání energetických hladin a vlnových funkcí částice, která se nachází uvnitř jámy vyjdeme z amplitudové Schrödingerovy rovnice, která má v intervalu

$$\left\vert x \right\vert < \frac{a}{2}$$

tvar

 

$${ } - \frac{{\hbar ^2 }}{{2m}}\frac{{{\rm d}^{\rm 2} \psi }}{{{\rm d}x^2 }} = E\psi\ ,$$ (2.87)

kde $m$ je hmotnost částice. Obecné řešení rovnice (2.87) je rovno

 

$${ } \psi \left( x \right) = A\sin kx + B\cos kx\ ,$$ (2.88)

kde

$$k = \left( {\frac{{2mE}}{{\hbar ^2 }}} \right)^{{1 \mathord{... ... {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}\ .$$

Vzhledem k hraničním podmínkám musí platit

 

$${ } A \sin \frac{{ka}}{2} + B \cos \frac{{ka}}{2} = 0\ , \end... ...aymath} - A\sin \frac{{ka}}{2} + B \cos \frac{{ka}}{2} = 0\ .$$ (2.89)

Řešením těchto rovnic, které musí platit současně dostáváme dvě třídy řešení

$$1) \ \ \ A = 0;\ \ \cos \frac{{ka}}{2} = 0\ ,$$

 

$${ } 2) \ \ \ B = 0;\ \ \sin \frac{{ka}}{2} = 0\ .$$ (2.90)

Řešení rovnice pro $A = B = 0$ nemá fyzikální význam, neboť vlnová funkce je v tomto případě rovna nule v celém prostoru. Pro obě třídy musí platit

 

$${ } k = \frac{{n\pi }}{a}\ ,$$ (2.91)

kde $n$ je celé liché číslo pro třídu řešení 1) a celé sudé číslo pro třídu 2). Vlnové funkce a odpovídající energetické hladiny dostaneme dosazením (2.90) a (2.91) do obecného řešení (2.88). Tím obě třídy řešení dostaneme ve tvaru

$$1) \ \ \ \psi \left( x \right) = B \cos \frac{{n\pi }}{a}\ x\ ,\ \ n \ \rm { liché,}$$

$$2) \ \ \ \psi \left( x \right) = B \cos \frac{{n\pi }}{a}\ x\ ,\ \ n \ \rm { sudé,}$$

 

$${ } E_n = \frac{{\pi ^2 \hbar ^2 }}{{2ma^2 }}\ n^2\ .$$ (2.92)

Řešení pro $n = 0$ nemá fyzikální význam, neboť vlnová funkce je rovna nule v celém prostoru. Obdobně případ, kdy $n$ je záporné celé číslo, nedává fyzikálně nová řešení, neboť řešení se záporným a kladným $n$ jsou lineárně závislá. Konstanty $A$ a $B$ určíme z normovací podmínky

$$\int\limits_{ - \frac{a}{2}}^{ + \frac{a}{2}} {\psi ^* } \psi = 1\ .$$

Po dosazení z (2.92) dostaneme

$$A = B = \sqrt {\frac{2}{a}}\ .$$

Nyní již máme celý problém vyřešen. Jako řešení jsme dostali nekonečnou množinu diskrétních hladin energie, které odpovídají všem kladným kvantovým číslům $n$. Ke každé energetické hladině přísluší jediná vlnová funkce daná vztahem (2.92).

Zpět: 2.7.19 Nekonečná potenciálová jáma O úroveň výše: 2.7.19 Nekonečná potenciálová jáma Pokračovat: 2.7.20 Konečná jáma **