2.7.18.1 Řešení

Konzervativní síla

$$F = - kx\ ,$$

která na částici o hmotnosti $m$ působí, je charakterizována potenciální energií

$$U\left( x \right) = \frac{{kx^2 }}{2}\ .$$

Vzhledem k tomu, že celková energie částice je prvním integrálem pohybu, dostaneme

 

$${ } E = \frac{{p^2 }}{{2m}} + \frac{{kx^2 }}{2} = \frac{{p^2 ... ...+ \frac{{m\omega ^2 x^2 }}{2} = \frac{{m\omega ^2 A^2 }}{2}\ ,$$ (2.86)

kde je úhlová frekvence kmitů oscilátoru a $A$ je jejich amplituda. Ze vztahu (2.86) určíme hybnost

$$p = \sqrt {m^2 \omega ^2 \left( {A^2 - x^2 } \right)}\ .$$

Použitím Bohrovy-Sommerfeldovy podmínky za předpokladu $x = A\sin \varphi$ dostaneme

$$\oint {p\,{\rm d}x} = Am\omega \oint {\sqrt {1 - \frac{{x^2 ... ...os}^{\rm 2} \varphi {\rm d}\varphi } = \pi m\omega A^2 = nh\ ,$$

z čehož pro amplitudy $A$ a energie podle (2.86) plyne vztah

$$A_n^2 = \frac{{nh}}{{m\omega \pi }}\ \ ,\ \ E_n = \frac{{m\omega ^2 A_n^2 }}{2} = n\hbar \omega\ ,$$

kde $n=0, 1, 2, ...$