2.7.17.1 Řešení

Vzhledem k tomu, že potenciální energie volné částice , budeme řešení časové Scrödingerovy rovnice, která má v tomto případě tvar

 

$${\rm i}\hbar \frac{{\partial \psi \left( {x,t} \right)}}{{\p... ...}}{{2m}}\frac{{\partial ^2 \psi \left( {x,t} \right)}}{{x^2 }}$$ (2.84)

hledat ve tvaru . Tím po dosazení za do (2.84) dostaneme

 

$${\rm i}\hbar \frac{{\rm 1}}{\varphi }\frac{{{\rm d}\varphi }... ...m}}\frac{1}{R}\frac{{{\rm d}^{\rm 2} R}}{{{\rm d}x^2 }} = a\ ,$$ (2.85)

kde je konstanta, která v důsledku konečnosti funkce pro musí být kladná (). Označíme-li

$$k^2 = \frac{{2ma}}{{\hbar ^2 }}\ ,$$

dostaneme řešení (2.85) ve tvaru

$$\varphi \left( t \right) = e^{\frac{{{\rm i}\hbar ^{\rm 2} }}{{{\rm 2m}}}t}\ ,$$

$$R\left( x \right) = e^{{\rm i}kx}\ ,$$

kde je libovolné reálné číslo. Obecné řešení rovnice (2.84) je potom rovno superpozici nalezených řešení

$$\psi \left( {x,t} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \in... ...i}\left( {kx - \frac{{\hbar ^2 }}{{2m}}t} \right)} {\rm d}k\ .$$

Zpět: 2.7.17 Řešení Schrödingerovy rovnice O úroveň výše: 2.7.17 Řešení Schrödingerovy rovnice Pokračovat: 2.7.18 Harmonický oscilátor (energetické