2.1.1.1 Řešení

Dopadají-li na otevřený rezonátor zvukové vlny, rozkmitá se vzduch (hustoty $\rho$) v rezonátoru. Hrdlo vytváří zátku. Tlakové vlny jsou rychlé, takže stlačování vzduchu uvnitř rezonátoru můžeme považovat za adiabatické. Posune-li se vzduch v hrdle o hmotnosti $m=\rho Sl$ o délku $y$ z rovnovážné polohy, změní se tlak vzduchu v nádobě o hodnotu $\Delta p$. Z rovnice adiabaty $p V^{\kappa}=konst.$ plyne diferenciací

$$V^{\kappa}\mbox{d}p+p\kappa V^{\kappa-1}\mbox{d}V~=0,$$

$$\mbox{d}p=-\kappa p \frac{\mbox{d}V}{V}=-\kappa p \frac{S\mbox{d}y}{V}.$$

Pro $\Delta p$ můžeme přibližně psát

$$\Delta p =-\kappa p y \frac{S}{V}.$$

Tomu odpovídá síla

$$F=S\Delta p=-\kappa p y \frac{S^2}{V}$$

a tedy kmity vzduchu v rezonátoru lze popsat rovnicí

$$m\frac{\mbox{d}^2 y}{\mbox{d}t^2}=-\kappa p \frac{S^2}{V}.$$

Dosazením za $m=\rho Sl$ a úpravou dostaneme rovnici

$$\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}+\kappa y\frac{pS}{\rho lV}=0.$$

Porovnáním s obecnou diferenciální rovnicí harmonických kmitů dostaneme

$$\omega^2=\frac{\kappa pS}{\rho lV},~~~~\omega=\frac{2\pi}{T}.$$

Výsledek: Doba kmitu je $T=2\pi \sqrt{\frac{\rho lV}{\kappa p S}}$.