Oznacovani matematickych vyrazu v tomuto textu: sqrt() ... druha odmocnina ^2 ... druha mocnina . ... nasobeni ÉÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ» º Odvozeni zakona odrazu z Fermatova principu: º ÈÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍͼ Odvodime trajektorii paprsku spojujiciho body A=(xA, yA) a B=(yA, yB) odrazejicim se v zrcadle. Rovina zrcadla nechœ lezi v rovine y=0. Bod dopadu (=bod obrazu) nechœ ma souradnici x (y-ova souradnice je nulova). Cas t pro svetelny paprsek propojujici body A, bod dopadu a bod B vyjadrime t = tA + tB = SA/c + SB/c , kde SA a SB jsou vzdalenosti bodu A a B od bodu dopadu, c je rychlost svetla. Vzdalenosti SA a SB vyjadrime pomoci Pythagorovy vety (nakreslete obrazek!): SA = sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ), SB = sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ). Nyni uvazujeme t jako funkci x-ove souradnice bodu dopadu, tj. t=t(x). Najdeme extrem teto funkce metodami diferencialniho poctu (pripomenme, ze spojita funkce ma v bode lokalniho extremu nulovou prvni derivaci a pokud je druha derivace kladna jde o minimu, pokud je druha derivace zaporna, jde o maximum). dt 1 xA - x xB - x -- = - ( --------------------- + --------------------- ) dx c sqrt( (xA-x)^2 + yA ) sqrt( (xB-x)^2 + yB ) dt 1 (xA-x).sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) + (xB-x).sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) -- = - ---------------------------------------------------------------- dx c sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) . sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) Protoze zlomek je nulovy tehdy, je-li nulovy citatel, plati dt ! -- = 0 <=> (xA-x).sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) = (xB-x).sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ), dx upravou dostaneme vztah (xA-x)/sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) = (xB-x)/sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ), coz je pri zapisu pomoci uhlu (nakreslete si obrazek a vyznacte si uhly Alfa a Beta ) rovnice ----------------------- | sin Alfa = sin Beta |, ktera je matematickym vyjadrenim znameho zakona ----------------------- odrazu na rovinnem zrcadle. ÉÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ» º Odvozeni zakona lomu z Fermatova principu: º ÈÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍͼ Odvodime trajektorii paprsku spojujiciho body A=(xA, yA) a B=(yA, yB) lomem pres rozhrani lezici v rovine y=0. Body A nechœ lezi v prostredi s indexem lomu n1, bod B nechœ lezi v prostredi s indexem lomu n2. Bod lomu nechœ ma souradnici x (y-nova souradnice je nulova). Cas t pro svetelny paprsek propojujici body A, bod lomu a bod B vyjadrime jako t = tA + tB = SA/v1 + SB/v2 = SA.n1/c + SB.n2/c , kde SA a SB jsou vzdalenosti bodu A a B od bodu lomu, c je rychlost svetla ve vakuu a v1, v2 jsou rychlosti v prostredich o indexech lomu n1 a n2. Vzdalenosti SA a SB vyjadrime pomoci Pythagorovy vety (nakreslete obrazek!): SA = sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ), SB = sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ). Nyni uvazujeme t jako funkci x-ove souradnice bodu dopadu, tj. t=t(x). Najdeme extrem teto funkce metodami diferencialniho poctu (pripomenme, ze spojita funkce ma v bode lokalniho extremu nulovou prvni derivaci a pokud je druha derivace kladna jde o minimu, pokud je druha derivace zaporna, jde o maximum). dt 1 n1.(xA-x) n2.(xB-x) -- = - ( ----------------------- + ---------------------- ) dx c sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) dt 1 n1.(xA-x).sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) + n2.(xB-x).sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) -- = - ---------------------------------------------------------------------- dx c sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) . sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) Protoze zlomek je nulovy tehdy, je-li nulovy citatel, plati dt ! -- = 0 <=> n1.(xA-x).sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ) = n2.(xB-x).sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ), dx upravou dostaneme vztah n1.(xA-x)/sqrt( (xA-x)^2 + yA^2 ) = n2.(xB-x)/sqrt( (xB-x)^2 + yB^2 ), coz je pri zapisu pomoci uhlu (nakreslete si obrazek a vyznacte si uhly Alfa a Beta ) rovnice --------------------------------- | n1 . sin Alfa = n2 . sin Beta |, coz je znamy Snelluv zakon lomu. --------------------------------- Pozn. 1: Vsimnete si, ze odvozeni zakona odrazu je ekvivalentni odvozeni zakona lomu, uvazujeme-li pro indexy lomu n1=n2 a polohu bodu A a B na jedne strane roviny y=0. Pozn. 2: Ctenar tohoto textu nechœ si overi, zda se skutecne jedna o minimum, jak v pripade odvozeni zakona lomu, tak odrazu. ÉÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ» º Poznamky k pripadu spojiteho indexu lomu º ÈÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍͼ Zatimco zakon odrazu a lomu je naplni stredoskolskeho uciva fyziky, popis chodu paprsku prostredim s promennym indexem lomu jiz vyzaduje vysokoskolsky matematicky aparat. Pri vypoctu trajektorie paprsku prostredim o promennem indexu lomu n(x,y,z) se obecne postupuje takto: Ze stacionarni eikonalove rovnice se najde tzv. eikonal Fi(x,y,z) (z reckeho eikon=uhlova draha). Z vlnoveho hlediska je eikonal v podstate prostorova faze elektromagneticke vlny. V dalsim kroku se hleda trajektorie paprsku tak, aby paprsek byl vzdy kolmy na eikonal. Z matematickeho hlediska oba kroky predstavuji reseni tzv. parcialni diferencialni rovnice, coz je rovnice, ktera krome promenne veliciny (v tomto pripade eikonal Fi(x,y,z)) a promennych x, y a z obsahuje jeste jeji derivace, v obecnem pripade podle vsech nezavisle promennych x, y, z. Rovnici eikonalu lze nalezt v pookrocilejsich ucebnicich optiky nebo elektromagnetickeho pole, napr. Kvasnica J.: Teorie elektromagnetickeho pole, Praha, Academia 1985, str. 170. ÿ å