旼컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴커 � � � ** Moderni optika a kvantova fyzika : Trochu matematiky a informatiky ** � � � � DERIVACE A INTEGRACE : NUMERICKY A SYMBOLICKY 1 ****** CPG / LD - 981018 � � � 쳐컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴캑 � � � LIT. : HRUBY D. - KUBAT J. : Diferencialni a integralni pocet � � (Matematika pro gymnazia). Prometheus, Praha 1997. � � SEDLAK B. - STOLL I. : Elektrina a magnetismus. Academia / � � Vydavatelstvi Karolinum, Praha 1993. Kap. 1. � � � 읕컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴컴켸 Numericky vypocet integralu --------------------------- Numericke stanoveni urciteho integralu vychazi z geometricke interpretace teto operace - stanoveni plochy mezi krivkou zobrazujici integrand a osou usecek v useku vymezenem na teto ose mezemi integralu. Prakticky postup pritom je : (1) Rozdeleni teto plochy na svisle prouzky. (2) Priblizne stanoveni velikosti plosek zabiranych prouzky. (3) Urceni integralu jako souctu techto plosek. Podle konkretniho postupu pti vypoctu plosek prouzku existuji tri elementarni metody numericke integrace : (1) Metoda stredniho bodu. (2) Lichobeznikova metoda. (3) Simpsonova metoda. Vzorce pro jednotlive aproximace pro prouzky vymezene souradnicemi a, b, jsou uvedeny nize. _________________________________________________________________ Metoda Vzorec pro plochu prouzku _________________________________________________________________ (1) M(F) = (b - a) * F[ 1/2 * (a + b) ] _________________________________________________________________ (2) T(F) = 1/2 * (b - a) * [ F(a) + F(b) ] _________________________________________________________________ (3) S(F) = 1/6 * (b - a) + 4 * { F[ 1/2 * (a + b) ] + F(b) } _________________________________________________________________ Konkretni realizace vsech tri metod je objasnena na smimcich generovanych timto programem. Jako konkretni fyzikalni aplikace numericke integrace ja ukazan vypocet osoveho potencialu kruhoveho, rovnomerne nabiteho disku. Vychozi informaci je pritom znalost osoveho potencialu rovnomerne nabite kruznice. Rovnomerne nabita kruznice -------------------------- Potencial na ose rovnomerne nabite kruznice je urcen evidentne vztahem V = 1 / (4*pi*eps0) * INTEGRAL ( dq / r) (1) kde dq je naboj infinitezimalniho elementu kruznice a r vzdalenost bodu v nemz potencial pocitame od tohoto elementu. Oznacime-li polomer kruznice a , vzdalenost bodu od roviny kruznice x , pak zrejme r^2 = x^2 + a^2 (2) takze V = 1 / (4*pi*eps0) * INTEGRAL ( dq / ( x^2 + a^2 )^(1/2) ) (3) Protoze a, x jsou vzhledem k integraci konstanty, mame V = 1 / (4*pi*eps0 * ( x^2 + a^2 )^(1/2) ) * INTEGRAL(dq) (4) a s pouzitim Q = INTEGRAL(dq) ---------------------------------------------- V = 1 / (4*pi*eps0 * ( x^2 + a^2 )^(1/2) ) * Q (5) ---------------------------------------------- Rovnomerne nabity disk ---------------------- Uvazujeme rovnomerne nabity disk polomeru R s plosnou hustotou naboje sigma. Disk lezi v pocatku souradnic rovine yz, pocitame osove pole ve smeru souradnice x. Disk muze byt rozdelen do infinitezimalnich prstencu o polomeru a, jez maji plochu 2 * pi * a * da. Infinitezimalni naboj prstence je dq = sigma * 2 * pi * a * da. S pouzitim vysledku (5) pro nabitou kruznici dV = dq / ( 4 * pi * eps0 * r ) (6} dV = sigma * 2 * pi * a * da / [4 * pi * eps0 * ( x^2 + a^2 )^(1/2)] (7) Vysledny osovy potencial ve vzdalenosti x V = INTEGRAL( dV ) od 0 do R (8) Zavedeme-li konstantu C = sigma * 2 * pi * a * da / (4 * pi * eps0 ) (9) = sigma / (2 * eps0 ) zbyva urcit integral I = INTEGRAL [ a * da / (x^2 + a^2)^1/2) ] od 0 do R (10) Snadno zjistime, ze I = [ x^2 + a^2 )^(1/2) ] od 0 do R (11) Po dosazeni mezi I = ( x^2 + R^2 )^(1/2) - x (12) Osovy potencial v ose rovnonerne nabiteho disku o polomeru R ve vzdalenosti x je tudiz ----------------------------------- V = C * [ ( x^2 + R^2 )^(1/2) - x ] (13) ----------------------------------- kde konstanta C je urcena vztahem (9). --------------------------------------------------------------------------- "                                                                                                                                 $&�