1. ODVOZENI éHLU DOPADU PAPRSKU S MINIMALNIM éHLEM ODCHYLENI Pro urceni uhlu dopadu paprsku s minimalnim uhlem odchyleni, musime hledat minimum funkce: k=2*(á-á`)+k*(á-2*á`) Nejprve hledejme extrem funkce, coz lze urcit snadno derivaci podle uhlu dopadu . Je nutne si uvedomit, ze á` neni konstanta, nybrz funkce uhlu do- padu : dëk dá` dá` dá` --- = 2-2* -- -2*k* -- = 2*(1-(k+1)* -- ) dá dá dá dá dá/dá` musime urcit z diferencialniho tvaru Snellova zakona. Ten ziskame ze Snellova zakona v znamem tvaru sin(á) = n*sin(á`). Nejprve diferencova- nim ziskame cos(á)*dá = n*cos(á`)*dá`, coz snadno upravime na hledany tvar: dá` cos(á) -- = --------- dá n*cos(á`) Vidime, ze ve jmenovateli prave strany se jeste vyskytuje promenna á`, proto provedeme upravu: n*cos(á`) = n*û(1-sin«(á')) = û(n«-n«*sin(á`)) = = û(n«-sin«(á)). Po dosazeni do dá`/dá dostavame: dá` cos(á) -- = ------------- dá û(n«-sin«(á)) Vraœme se zpet k vyrazu dëk/dá, kde nyni dostavame: dëk cos(á) --- = 2*(1-(k+1))* ------------ dá û(n«-sin«(á)) Polozime-li derivaci rovnou nule, ziskavame pro uhel á, pri nemz dochazi k extremnimu otoceni (zatim neuzeme rici, zda minimalni, ci maximalni), vztah: cos(á) 0 = 2*(1-(k+1)* ------------ ) n«-1+cos«(á) --------------------------- | û(n«-1) | | cos(á) = --------- | | û(k«+2*k) | --------------------------- Nyni je jeste nutne dokazat, ze se jedna o minimalni vychylku, tj. o minimum funkce. Provedeme druhou derivaci funkce ëk: -2*sin(á)*cos(á) -sin(á)*û(n«-sin«(á))-1/2*cos(á)* ---------------- d«ëk û(n«-sin«(á)) ---- = -2*(k+1)* ------------------------------------------------------- = dá« n«-sin«(á`) 2*(k+1) sin(á)*n«*cos«(á`) - sin(á)*cos«(á) = ------------ * ------------------------------------ n«*cos«(á`) n*cos(á`) Neboœ plati n«*cos«(á`) = n«-sin«(á) = n«-1+cos«(á), dostavame: d«ëk 2*(k+1) sin(á)*(n«-1) ---- = ------------ * -------------- dá« n *cos«(á`) n*cos(á`) Vime, ze pro vodu je n>1 a uhly á a á` v nasem pripade nabyvaji hodnot z intervalu (0,ã/2), proto je d«ëk/dá« > 0. Tim jsme dokazal, ze pod uhlem danym vztahem û(n«-1) cos(á) = --------- û(k«+2*k) dopada na kapku paprsek s minimalnim uhlem odchyleni. 2. ODVOZENI æIRKY DUHY A) HLAVNI DUHA Nejprve rozebereme pripad hlavni duhy, tj. pripad jednoho vnitrniho odrazu. Zacneme se zabyvat cervenym svetlem (n=1.33016). Z uvedenych vzor- cu dostavame: á=59ø35', á`=40ø25', ë1=137ø30'. Neboœ paprsky, ktere dopadaji na kapku pod uhly blizkymi 59ø35' se odchyluji nejmeme, davaji nejvetsi intenzitu ve vzdalenosti 180ø-137ø30'=42ø30' (mere- no od spojnice slunce -protibod). Pro fialove paprsky (n=1.343147) dostaneme: á=58ø49', á`=39ø34', ë1=139ø22', polomer oblouku je 40ø37' æirka duhy pro bodovy zdroj svetla vychazi 42ø30'-40ø37'=1ø53'. Slunce vsak neni bodovy zdroj, jeho prumer cini 32', proto je sirka hlavni duhy v zemske atmosfere ------------------------ | 1ø53'+32'=2ø25' | ------------------------ B) VEDLEJæI DUHA Obdobnym zpusobem odvodime i sirku vedlejsi duhy (pripad dvou vnitrnich odrazu, k=2 ) Pro cervene paprsky mame: á=71ø56', á`=45ø37', ë1=230ø10', polomer oblouku je 50ø10' Pro fialove paprsky mame: á=71ø31', á`=44ø55', ë1=233ø32', polomer oblouku je 53ø32' Z techto udaju urcime sirku vedlejsi duhy: ---------------------------- | 53ø22'-50ø10'+32'=3ø54' | ---------------------------- ÿ ç