2.7.5.1 Řešení

Pro první máme:

$$[x,\frac{d}{dx}\>]=-1\ ;$$

$$[x^{2},\frac{d}{dx}\>]=[x\cdot x,\frac{d}{dx}\>]=x[x,\frac{d}{dx}\>]+[x,\frac{d}{dx}\>]x=x(-1)+(-1)x=-2x\ ;$$

$$[x^{3},\frac{d}{dx}\>]=[x^{2}\cdot x,\frac{d}{dx}\>]+[x^{2},\frac{d}{dx}\>]=x^{2}(-1)+(-2x)x=-3x^{2}\ .$$

Na základě výsledků lze vyslovit hypotézu:

$$[x^{n},\frac{d}{dx}\>]=-nx^{n-1} \ .$$

Pro první krok hypotéza zjevně platí, pro další ji snadno dokážeme indukcí:

$$[x^{n},\frac{d}{dx}\>]=[x^{n-1}\ x,\frac{d}{dx}\>]=x^{n-1}[x,\frac{d}{dx}\>]+[x^{n-1},\frac{d}{dx}\>]x=$$

$$=-x^{n-1}-(n-1)x^{n-2}x=-nx^{n-1} \ .$$

Poznámka: Snadno lze dokázat i relaci pro analytické funkce. Stačí provést Taylorův rozvoj a na jednotlivé mocniny aplikovat nalezenou komutační relaci.